Le meilleur emplacement
dans un triangle équilatéral... ?


Solution animée
Démonstration classique
Démonstration animée et visuelle d'après Ken-ichiroh Kawasaki 2005


 

Robinson Crusoé est le propriétaire d'une superbe île ayant la forme d'un triangle équilatéral.
Il veut construire une cabane à l'intérieur de son île.
Son problème est de choisir l'endroit à partir duquel la somme des distances aux trois frontières sera la plus courte possible.
Quel emplacement devra-t-il choisir ?

SOLUTION animée


Tous les points intérieurs au triangle équilatéral sont équivalents.
En effet la somme des distances aux trois côtés du triangle est constante et égale à la hauteur du triangle équilatéral.

 

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Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Viviani (démonstration en 1660) du mathématicien italien Vincenzo Viviani (1622 - 1703) qui fut un collaborateur de Galilée, à Arcetri, en Italie et publia la version italienne des Eléments d'Euclide en 1690.

On montre que dans le cas d'un polygone régulier à n côtés, la somme des distances aux n côtés est égale à n fois l'apothème du polygone.
L'apothème est la distance entre le centre du polygone et un côté de ce polygone.


Une Démonstration

Soit O un point intérieur au triangle équilatéral.
Nommons H1, H2 et H3 les pieds des perpendicualires abaissées de O sur les trois côtés du triangle équilatéral.

Soit h la hauteur du triangle équilatéral.
Peu importe le sommet duquel elle et issue puisque le triangle est équilatéral.

L'aire du triangle ABC est égale à

        
        AB x h /2.

Mais c'est aussi la somme des aires des trois triangles colorés soit :
                (OH1 x AB / 2) + (O
H2 x AC / 2) + (OH3 x BC /2)
Mais AB = AC = BC
donc la somme des aires devient
                AB (OH1 +OH2 + OH3) /2

On déduit donc que
                h = OH1 +OH2 + OH3

La somme des distances du point O aux côtés est toujours égale à la hauteur du triangle.

Une autre démonstration visuelle animée
Ci dessous, j'ai animé la démonstration de Ken-ichiroh Kawasaki (2005) :
-on trace les parallèles aux trois côtés passant par le point O ;
-on obtient trois petits triangles équilatéraux homothétiques à ABC ;
-on déplace l'un des triangles parallèlement à (AB) ;
-en remarquant que les trois hauteurs d'un triangle équilatéral sont de même longueur, on garde la hauteur verticale de chacun ;
-on note alors que la somme des distances de O aux trois côtés est égale à la hauteur du triangle ABC.

Comme le point O peut être déplacé n'importe où dans le triangle ABC,
la somme des distances du point O aux côtés est toujours égale à la hauteur du triangle.

Sur l'animation suivante, déplacer le point O et relâcher la souris pour voir la démonstration.




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